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04-时域响应分析.typ
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#import "lib/sci-book.typ": *
#show: doc => conf(
title: "时域响应分析",
author: ("ivaquero"),
header-cap: "现代控制理论",
footer-cap: "github@ivaquero",
outline-on: false,
doc,
)
= 一阶系统
<一阶系统>
== 单位阶跃响应
对一阶系统,其传递函数的形式通常为
$ G(s) = frac(a, s + a) $
若输入为
$ u(t) = cases(delim: "{", 0 & t = 0, 1 & t > 0) $
则
$
ℒ[u(t)] &= ∫_0^(+∞) 1⋅e^(-s t) dd(t)\
&= -1 / s e^(-s t) bar.v_0^∞ = 1 / s
$
于是
$ X(s) = U(s) G(s) = 1 / s frac(a, s + a) = 1 / s - frac(1, s + a) $
对等式两端同时进行 Laplace 逆变换,得
$ x(t) = 1 - e^(-a t) $
当$t = τ = 1/a$
$ x(τ) = x(1 / a) = 1 - e^(-1) = 0.63 $
此处
- $τ$:#strong[时间常数(time constant)],反映系统响应速度。
- $T_("ss")$:#strong[稳定时间(settlingtime)],通常定义为$4 τ$,即
$ x(t_(s s)) = x(4 / a) = 1 - e^(-4) = 0.98 $
对于如下系统
#figure(
image("./images/model/liquid.drawio.png", width: 40%),
caption: [liquid],
supplement: "图",
)
$ x(t) = frac(C R, g)(1 - e^(-g / R t)) $
则其传递函数
$ G(s) = frac(1, s + g/R) $
可得
$ τ = frac(1, g/R) = R / g $
#tip[
上述流体系统的传递函数$frac(a, s + a)$是一个典型的低通滤波,其特点之一是数值积累,又如积分运算。
]
又
$ ℒ[u(t)] = ℒ[C e^0] = C frac(1, s + 0) = C 1 / s $
从而有
$
X(s) &= U(s) G(s)\
&= C 1 / s frac(1, s + g/R)\
&= frac(C R, g)(frac(1, s - 0) - frac(1, s + g/R))
$
最终得
$
x(t) = ℒ^(-1)(X(s))
&= frac(C R, g)(e^(o t) - e^(-g / R t))\
&= frac(C R, g)(1 - e^(-g / R t))
$
即得到极点。
== 相图视角
<相图视角>
对 LTI 系统
$ dot(x) + a x = a u, med x(0) = dot(x)(0) = 0 $
若$u = 1$
$ dot(x) = a(1 - x) $
通过分析$x ̇$-$x$的图像,可以得出$x$的变化趋势。
= 二阶系统
<二阶系统>
== 弹簧阻尼系统
<弹簧阻尼系统>
#figure(
image("./images/model/vibration.drawio.png", width: 40%),
caption: [vibration],
supplement: "图",
)
对弹簧阻尼系统
$m dot.double(x) = F - k x - B dot(x)$
整理得
$ dot.double(x) + B / m dot(x) + k / m x = F $
这里定义
- $ω_n = sqrt(k/m)$:固有频率
- $ζ = frac(B, 2 sqrt(k m))$:阻尼比
设初始时刻没有外力,即初始条件为
- $x_((0)) = 5$
- $dot(x)_((0)) = 0$
代入原方程,得
$ dot.double(x) + 2 ζ ω_n dot(x) + ω_n^2 x = 0 $
即
$ dot.double(x) = -2 ζ ω_n dot(x)- ω_n^2 x $
对微分方程,其解的形式为$x(t) = e^(λ t)$,于是可知
- $dot(x) = λ e^(λ t)$
- $dot.double(x) = λ^2 e^(λ t)$
回代入上述方程,得
$ (λ^2 + 2 ζ ω_n λ + ω_n^2) e^(λ t) = 0 $
显然,由于$e^(λ t) ≠ 0$,第一个因式
$ λ^2 + 2 ζ ω_n λ + ω_n^2 = 0 $
此式即为特征方程。
解之,得
$
λ_1 &= -ξ ω_n + w_n sqrt(xi^2 - 1)\
λ_2 &= -ξ ω_n - ω_n sqrt(xi^2 - 1)
$
== 动态响应
<动态响应>
对特征方程
- 当$ζ > 1$,此时系统处于过阻尼状态(over damped),即阻尼力很大,该极点为#strong[稳定节点]。
此时有解
$ x(t) = C_1 e^(λ_1 t) + C_2 e^(λ_2 t) $
#tip[
解收敛,且收敛速度取决于$λ_1$。
]
- 当$ζ = 1$,此时系统处于临界状态,$λ_1 = λ_2 = ω_n$
此时有解
$ x(t) = (C_1 + C_2 t) e^(λ t) $
- 当$0 < ζ < 1$,此时系统处于欠阻尼状态(under damped),该节点为#strong[稳定焦点]。
此时有解
$ x(t) = e^(-ζ ω_n t)(C_1 cos ω_n sqrt(1 - ζ^2)t + C_2 sin ω_n sqrt(1 - ζ^2)t) $
令$ω_d = ω_n sqrt(1 - ζ^2)$,称阻尼固有频率(damped natural frequency),可得
$ x(t) = e^(-ζ ω_n t) sqrt(c_1 + c_2)(sin(ω_dd(t) + ϕ)) $
其中,$ϕ = arctan c_1/c_2$。
此时,系统振幅在震动中衰减,且震动周期为$2π/ω_d$。
#tip[
欠阻尼是日常生活中最常见的状态
]
- 当$ζ = 0$,此时系统处于无阻尼状态,该极点为#strong[中心点]。
此时有解,图像为正弦函数,周期为$2π/ω_n$
$
x_((t)) &= e^0 (c_1 cos ω_n t + c_2 sin ω_n t)\
&= sqrt(c_1 + c_2) sin(ω_n t + ϕ)
$
- 当$-1 < ζ < 0$或$ζ < - 1$,得到的解是发散的,图像与各自取符号后的图像趋势相反。
== 极点与零点
<极点与零点>
对上述弹簧阻尼系统,定义输入为
$ u(t) = F / ω_n^2 $
#tip[
即单位化的外力
]
输出为位移$x(t)$,从而有
$ dot.double(x) + 2 ζ ω_n dot(x) + ω_n^2 x = ω_n^2 u(t) $
两端同时 Laplace 变换,得
$ H(s) = frac(X(s), U(s)) = frac(ω_n^2, s^2 + 2 ζ ω_n s + ω_n^2) $
从而有
$ X(s) = 1 / s frac(ω_n^2, s^2 + 2 ζ ω_n s + ω_n^2) $
因子之一即特征方程
$ s^2 + 2 ζ ω_n s + ω_n^2 = 0 $
可以找到极值点
- $P_1 = 0$
- $P_2 = -ζ ω_n + i ω_n sqrt(1 - ζ^2)$
- $P_3 = -ζ ω_n - i ω_n sqrt(1 - ζ^2)$
于是
$
X(s)
&= frac(A, s - p_1) + frac(B, s - p_2) + frac(C, s - p_3)\
&= frac(A (s - p_2)(s - p_3) + B (s - p_1)(s - p_3) + C (s - p_1)(s - p_2), (s - p_1)(s - p_2)(s - p_s))
$
已知
$ A (s - p_2)(s - p_3) + B (s - p_1)(s - p_3) + C (s - p_1)(s - p_2) = ω_n^2 $
- 令$s = P_1$,得$A = 1$
- 令$s = P_2$,得
$ B = -1 / 2 (1 - ζ / sqrt(1 - ζ^2) i) $
- 令$s = P_3$,得
$ C = -1 / 2 (1 + ζ / sqrt(1 - ζ^2) i) $
代回原方程
$ x(t) = 1 - e^(-ζ ω_n t) sqrt(frac(1, 1 - ζ^2)) sin(ω_dd(t) + ϕ) $
其中
- 正弦函数$sin(ω_dd(t) + ϕ)$的频率为$w_d$(周期为$2π/w_d$)
- $e^(-ζ ω_n t)$是一个衰减(单调递减)函数
= 性能分析
<性能分析>
== 指标
<指标>
- $T_d$:延迟时间(delay time),系统达到稳态 50% 的时间
- $T_r$:上升时间(rise time),系统第一次达到稳定点的时间,即正弦函数第一次为$0$的时间,此时
$ T_r = frac(π - ϕ, ω_d) $
- $M_p$:最大超调量(max overshot),峰值与稳态值的差值与稳定值的百分比,即
$ M_p = e^(-ζ π / sqrt(1 - ζ^2)) × 100% $
- $T_(s s)$:调节时间(settling time):系统进入稳态范围内的时间,稳态范围通常选择稳定值的$±2%$或$±5%$,即
- $2%$:$T_(s s) = frac(4, ζ ω_n)$
- $5%$:$T_(s s) = frac(3, ζ ω_n)$
== 比较
<比较>
- $T_r$:反映系统的响应速度,越短越好
- $M_p$:反映系统的稳定性,越小越好
- $T_(s s)$:越短越好
给定以上指标比重
- 列表,计算总得分
- 在`x-y-z`坐标系中,描点连线,计算面积