-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 4
/
02-传递函数.typ
398 lines (292 loc) · 8.3 KB
/
02-传递函数.typ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
#import "lib/sci-book.typ": *
#show: doc => conf(
title: "传递函数",
author: ("ivaquero"),
header-cap: "现代控制理论",
footer-cap: "github@ivaquero",
outline-on: false,
doc,
)
= 传递函数
<传递函数>
== 弹簧阻尼系统
范式
$ F(s) H(s) = X(s) $
其中,
- $F(s)$:输入的 Laplace 变换- $H(s)$:传递函数- $X(s)$:输出的 Laplace 变换
对等号两边做 Laplace 逆变换,可得
== 冲激函数
=== 连续型
连续型冲激函数定义为
$ δ(t) = cases(∞ & t = 0, 0 & t ≠ 0) $
单位冲激函数,又称为 Dirac $δ$函数,满足
- $t ≠ 0$时,$δ(t) = 0$
- $∫_(-∞)^∞ δ(t) dd(t) = 1$
#tip[
$δ$函数的宽度为 0,面积为 1,仅存在于数学中
]
=== 离散型
根据$δ$函数定义,构建离散型冲激函数
$ δ(t)_Δ = cases(frac(1, Δ T) & 0 < t < Δ T, 0 & "else") $
显然,$Δ T$内的冲激为
$ frac(1, Δ T) Δ T = 1 $
== 输入与输出
#figure(
table(
columns: 2,
align: center + horizon,
inset: 6pt,
stroke: frame(rgb("000")),
[$f(t)$], [$x(t)$],
[$δ(t)_Δ$], [$h_Δ(t)$],
[$δ(t - i Δ T)_Δ$], [$h_Δ(t - i Δ T)$],
[$A δ(t - i Δ T)_Δ$], [$A h_Δ(t - i Δ T)$],
),
caption: [输入与输出],
supplement: "表",
kind: table,
)
表格中,$A = Δ T f(i Δ T)$,在$t = i Δ T$时刻,有
$ x(t) = ∑_(i = 0)^i Δ T f(i Δ T) h_Δ(t - i Δ T) $
令$lim_(Δ T → 0)$,则$Δ T = dd(τ)$,$i Δ T = τ$,从而有
$
x(t) &= ∫_0^t f(τ) h(t - τ) dd(τ)\
&= f(t) ∗ h(t)
$
这就是#strong[卷积的定义],$∗$即为卷积运算(不是$*$)。
#tip[
$x(t)$是系统对$t$时刻前所有响应的和,而冲激响应$h(t)$可以完全定义 LTI 系统
]
= Laplace 变换
<Laplace-变换>
== 与卷积
Laplace 变换定义为
$ F(s) = ℒ[f(t)] = ∫_0^(∞) f(t) e^(-s t) dd(t) $
由之前的卷积的定义
$ ℒ[x(t) ∗ h(t)] = ∫_0^(∞)∫_0^t x(τ)h(t - τ) dd(τ) e^(-s t) dd(t) $
变换积分顺序,可以写成
$ ℒ[f(t) ∗ h(t)] = ∫_0^(∞)∫_τ^(∞) f(τ)h(t - τ) e^(-s t) dd(t, τ) $
令$u = t - τ ∈ [0, ∞)$,则$t = u + τ$,$dd(t) = dd(u)$,从而有
$
ℒ[f(t) ∗ h(t)]
&= ∫_0^(∞)∫_0^(∞) f(τ)h(u) e^(-s(u + τ)) dd(u, τ) \
&= ∫_0^(∞) f(τ)e^(-s τ) dd(τ) ∫_0^(∞) h(u) e^(-s u) dd(u) \
&= ℒ[f(s)] ℒ[h(s)] \
&= F(s)H(s)
$
#tip[
上面这个性质非常重要,它将复杂的卷积运算转化成了简单的乘积运算。
]
#theorem[
若
$ y (0) = y ̇ (0) = y ̈ (0) = … = y^((n-1))(0) = 0 $
则
$ ℒ (dv(y(t), t, n)) = s^n ℒ[y(t)] = s^n Y(s) $
]
#pagebreak()
== 时域与频域
通过 Laplace 变换,将函数从时域转化至频域
$ f(t) F(s) $
即
$ ℒ[f(t)] = F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^(-s t) dd(t) $
得到复数
$ s = σ + ω i $
此时,函数的图像就从二维转换成了三维。
当$σ = 0$时
$ F(s) = F(ω) = ∫_0^∞ f(t) e^(-j ω t) dd(t) $
$F(j ω)$-$j ω$的图像即为$f(t)$的 Fourier 变换。
== 收敛域
Laplace 变换后,要保证
- 分子 > $0$- 分子的每一部分都 > $0$
所以,还要加上关于$s$的收敛域(region of convergence,ROC)。如
$
ℒ[e^(-a t)] = ∫_0^∞ e^(-a t) e^(-s t) dd(t) = underbrace(∫_0^(+∞) e^(-(s + a))t) dd(t), 可 积
$
$e^(-a t)$的 Laplace 变换存在的条件是上式的积分可积
令$s = σ + j ω$
$
ℒ[e^(-a t)] = ∫_0^(+∞) e^(-a t) e^(-(σ + j ω)t) dd(t) = ∫_0^(+∞) e^(-(a + σ))t e^(-j ω t) dd(t)
$
由 Euler 公式
$ e^(-j ω t) = cos ω t - i sin ω t $
则$|e^(-j ω t)| = 1$,故可积取决于$e^(-(a + σ))t$,即
$ σ > - a $
= 常用 Laplace 变换
<常用-Laplace-变换>
== 指数函数
对函数$f(t) = e^(-a t)$
$
ℒ[e^(-a t)] &= ∫_0^∞ e^(-a t) e^(-s t) dd(t)
= ∫_0^∞ e^(-(a + s))t dd(t)
= frac(1, a + s)
$
显然,θ
$ ℒ[1] = 1 / s $
#pagebreak()
== 三角函数
Laplace 变换是一种线性变换。对线性系统
$ ℒ[a f(t) + b g(t)] = a F(s) + b G(s) $
由 Euler 公式
$
e^(i θ) &= cos θ + i sin θ\
e^(i (-θ)) &= cos θ - i sin θ
$
得
$ sin θ = frac(e^(i θ) - e^(-i θ), 2 i) $
于是
$
ℒ[sin(a t)] &= ℒ (frac(e^(i a t), 2 i)) - ℒ (frac(e^(-i a t), 2 i))\
&= 1 / 2i (ℒ[e^(i a t)]) - ℒ[e^(-i a t)] (\
&= 1 / 2i (frac(1, s - a i) - frac(1, s + a i))\
&= frac(a, s^2 + a^2)
$
同理
$
ℒ[cos(a t)] = frac(s, s^2 + a^2)\
ℒ[sinh(a t)] = frac(a, s^2 - a^2)\
ℒ[cosh(a t)] = frac(s, s^2 - a^2)
$
== 导数
分部积分
$ ∫f^′(t) g(t) dd(t) = f(t) g(t) - ∫f(t) g^′(t) dd(t) $
有
$
ℒ[f^′(t)] &= ∫_0^(+∞) f^′(t) e^(-s t) dd(t)\
&= f(t) e^(-s t) bar.v_0^∞ - ∫_0^(+∞) f(t)(-s e^(-s t))) dd(t)\
&= lim_(t → ∞) f(∞) e^(-s t) - f(0) + s ∫_0^(+∞) f(t) e^(-s t) dd(t)\
&= s F(s) - f(0)
$
#tip[
因为初始条件$f(0)$往往被选定为$0$,所以
$ ℒ[f^′(t)] = s F(s) $
]
进而有
$ ℒ[f^″(t)] = s^2 F(s) - s f(0) - f^′(0) $
以及
$ ℒ[∫_0^t f(τ) dd(t)] = 1 / s F(s) $
== 逆变换
通过 Laplace 变换求解微分方程主要有 3 步
+ Laplace 变换:$ℒ[f(x)], med t → s$
+ 求解代数方程
+ Laplace 逆变换:$ℒ^(-1)[f(x)], med s → t$
指数
$ ℒ (- frac(1, s + a)) = e^(-a t) $
三角函数
$
sin 2 t &= frac(e^(-2 i t) - e^(2 i t), 2 i)\
cos 2 t &= frac(e^(-2 i t) + e^(2 i t), 2)
$
= 系统设计
<系统设计>
== 电路系统
#figure(
image("./images/model/circuit.drawio.png", width: 40%),
caption: [
circuit
],
supplement: "图",
)
由 KCL 有
$ e^′ = L i^″ + R i^′ + 1 / C i $
#pagebreak()
令初始条件为$0$,等式两边进行导数的 Laplace 变换,得
$ s E[s] = L s^2 I_(s) + s R I_(s) + 1 / C I_(s) $
从而有
$ I(s) = frac(s, L s^2 + R s + 1/C) E[s] $
转换为框图形式,即有
#figure(
diagram(
spacing: (2em, 2em),
node-stroke: 1pt,
mark-scale: 80%,
let (M, A, B) = ((4, 1), (2, 1), (6, +1)),
node(
M,
text($frac(s, L s^2 + R s + 1\/C)$, size: 1.2em),
height: 2.5em,
corner-radius: 3pt,
),
edge(A, M, $E(s)$, "-|>"),
edge(M, B, $I(s)$, "-|>"),
),
caption: "",
supplement: "\n图",
)
中间的函数即输出函数与输入函数的比值,称为#strong[传递函数(transfer function)]。
== 流体系统
#figure(
image("./images/model/liquid.drawio.png", width: 40%),
caption: [流体系统],
supplement: "图",
)
由上图
$ dv(h, t) + frac(g, R A) h = q_(i n) / A $
令
- $A = 1$
- $x = h$
- $u = q_(i n)$
得
$ x ̇(t) + g / R x(t) = u(t) $
两端做 Laplace 变换,得
$ s X(s) + g / R X(s) = U(s), med x(0) = 0 $
从而有,开环传递函数$G(s)$
$ G(s) = frac(X(s), U(s)) = frac(1, s + g/R) $
当$u(t) = C$,则
$ lim_(t → ∞) h = C R / g $
对闭环系统,此时引入参考值$V(s)$,输入值变成了$X(s) H(s)$
#figure(
diagram(
spacing: (2em, 2em),
node-stroke: 1pt,
mark-scale: 80%,
let (R, O, T, H, A) = ((1, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1.5)),
node(R, $V(s)$, height: 2em, corner-radius: 3pt),
node(O, text($+ quad -$, size: 0.6em), inset: 1em, radius: 1em),
node(T, $D(s)G(s)$, height: 2em, width: 6em, corner-radius: 3pt),
node(H, $H(s)$, height: 2em, width: 6em, corner-radius: 3pt),
edge(R, O, "-|>", corner: left),
edge(
O,
T,
text($V(s)-X(s)H(s)$, size: 0.6em),
"-|>",
corner: right,
label-pos: 0.7,
),
edge(T, A, text($X(s)$, size: 0.6em), "-", corner: right, label-pos: 0.4),
edge(A, H, "-", corner: right),
edge(H, O, text($X(s)H(s)$, size: 0.6em), "-|>"),
),
caption: "",
supplement: "\n图",
)
由
$ (V - X H)(D G) = X $
得,闭环传递函数
$ X = V frac(D G, 1 + H D G) $
于是可知
#figure(
diagram(
spacing: (2em, 2em),
node-stroke: 1pt,
mark-scale: 80%,
let (M, A, B) = ((4, 1), (2, 1), (6, +1)),
node(M, $frac(D G, 1 + H D G)$, height: 2em, corner-radius: 3pt),
edge(A, M, $V$, "-|>"),
edge(M, B, $X$, "-|>"),
),
caption: "",
supplement: "\n图",
)
== 非零初始条件
对一阶方程
$ x ̇(t) + a x(t) = u(t) $
当$x(0) = 0$时,有
$ G(s) = frac(X(s), U(s)) = frac(1, s + a) $
当$x(0) ≠ 0$时,有
$ G(s) = frac(X(s), U(s) + x(0)) = frac(1, s + a) $
对 LTI 系统,根据叠加原理,$x(0)$为另一输入,令其为$U_2(s)$,有
$ ℒ^(-1)[U_2(s)] = ℒ^(-1)[x(0)] $
即
$ U_2(t) = x(0) δ(t) $
其中,$δ(t)$为单位冲击,$x(0)$为冲击幅度。