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lie_iso.tm
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<TeXmacs|1.99.2>
<style|<tuple|generic|german>>
<\body>
<doc-data|<doc-title|Isomorphismen von Lie-Algebren>>
Seien <math|<with|math-font|Euler|g>> und <math|<with|math-font|Euler|h>>
reelle Lie-Algebren. Ein Lie-Algebra-Isomorphismus zwischen
<math|<with|math-font|Euler|g>> und <math|<with|math-font|Euler|h>> ist
eine Vektorraum-Isomorphismus (d.h. eine bijektive lineare Abbildung)
<math|\<phi\>:<with|math-font|Euler|g>\<rightarrow\><with|math-font|Euler|h>>
mit <math|\<phi\><around*|(|<around*|[|a,b|]>|)>=<around*|[|\<phi\><around*|(|a|)>,\<phi\><around*|(|b|)>|]>>
für alle <math|a,b\<in\><with|math-font|Euler|g>>. Wenn
<math|<with|math-font|Euler|g>> und <math|<with|math-font|Euler|h>>
isomorph sind, so gilt
<\enumerate>
<item>Die Dimensionen stimmen überein:
<math|dim<rsub|\<bbb-R\>><around*|(|<with|math-font|Euler|g>|)>=dim<rsub|\<bbb-R\>><around*|(|<with|math-font|Euler|h>|)>>
<item>Die Dimensionen der Zentren stimmen überein:
<math|dim<rsub|\<bbb-R\>><around*|(|Z<around*|(|<with|math-font|Euler|g>|)>|)>=dim<rsub|\<bbb-R\>><around*|(|Z<around*|(|<with|math-font|Euler|h>|)>|)>>.
Dabei ist <math|Z<around*|(|<with|math-font|Euler|g>|)>\<assign\><around*|{|a\<in\><with|math-font|Euler|g>
\| \<forall\>b\<in\><with|math-font|Euler|g>: <around*|[|a,b|]>=0|}>> das
sogenannte Zentrum von <math|<with|math-font|Euler|g>>.
<item>Falls <math|<with|math-font|Euler|g>> eine Unteralgebra der
Dimension <math|r> besitzt (d.h. einen Unterraum
<math|<with|math-font|Euler|p\<less\><with|math-font|Euler|g>>> mit
<math|<around*|[|a,b|]>\<in\><with|math-font|Euler|p>> für alle
<math|a,b\<in\><with|math-font|Euler|p>>), so auch
<math|<with|math-font|Euler|h>> und andersrum.
</enumerate>
Falls eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, so sind
<math|<with|math-font|Euler|g>> und <math|<with|math-font|Euler|h>> also
nicht isomorph.
Die Dimension des Zentrums von <math|<with|math-font|Euler|g>> lässt sich
wie folgt berechnen:
Wähle eine Basis <math|e<rsub|1>,\<ldots\>,e<rsub|n>> von
<math|<with|math-font|Euler|g>>. Berechne die Strukturkonstanten
<math|a<rsub|i j><rsup|k>>. Sei
<\equation*>
A<rsub|i>\<assign\><matrix|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|i
1><rsup|1>>|<cell|a<rsub|i 2><rsup|1>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i
n><rsup|1>>>|<row|<cell|a<rsub|i 1><rsup|2>>|<cell|a<rsub|i2><rsup|2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i
n><rsup|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<ddots\>>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i
1><rsup|n>>|<cell|a<rsub|i 2><rsup|n>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i
n><rsup|n>>>>>>.
</equation*>
Sei <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|<around*|(|n\<cdot\>n|)>\<times\>n>> die
Matrix, die durch Untereinanderschreiben von
<math|A<rsub|1>,\<ldots\>,A<rsub|n>> entsteht. Dann gilt
<\eqnarray*>
<tformat|<table|<row|<cell|Z<around*|(|<with|math-font|Euler|g>|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|{|a\<in\><with|math-font|Euler|g>
\| \<forall\>b\<in\><with|math-font|Euler|g>:
<around*|[|a,b|]>=0|}>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|{|a\<in\><with|math-font|Euler|g>
\| <around*|[|a,e<rsub|1>|]>=0,\<ldots\>,<around*|[|a,e<rsub|n>|]>=0|}>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|{|<big|sum>\<lambda\><rsub|i>e<rsub|i>
\|v= <matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<lambda\><rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<lambda\><rsub|n>>>>>>\<in\>ker<around*|(|A<rsub|i>|)>\<cap\>\<ldots\>.\<cap\>ker<around*|(|A<rsub|n>|)>|}>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|{|<big|sum>\<lambda\><rsub|i>e<rsub|i>
\|v= <matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<lambda\><rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<lambda\><rsub|n>>>>>>\<in\>ker<around*|(|A|)>|}>.>>>>
</eqnarray*>
Also <math|dim<rsub|\<bbb-R\>><around*|(|Z<around*|(|<with|math-font|Euler|g>|)>|)>=dim<rsub|\<bbb-R\>><around*|(|ker<around*|(|A|)>|)>=n-rk<around*|(|A|)>>.
</body>