拓扑排序（Topological Sorting）：一种对有向无环图（DAG）的所有顶点进行线性排序的方法，使得图中任意一点
$u$ 和$v$ ，如果存在有向边$<u, v>$ ，则$u$ 必须在$v$ 之前出现。对有向图进行拓扑排序产生的线性序列称为满足拓扑次序的序列，简称拓扑排序。
图的拓扑排序是针对有向无环图（DAG）来说的，无向图和有向有环图没有拓扑排序，或者说不存在拓扑排序。
如上图中的有向无环图（DAG）所示，$v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow v_3 \rightarrow v_4 \rightarrow v_5 \rightarrow v_6$ 是该图的一个拓扑序列。与此同时，$v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow v_3 \rightarrow v_4 \rightarrow v_6 \rightarrow v_5$ 也是该图的一个拓扑序列。也就是说，对于一个有向无环图来说，拓扑序列可能不止一个。
拓扑排序有两种实现方法，分别是「Kahn 算法」和「DFS 深度优先搜索算法」。接下来我们依次来看下它们是如何实现的。
Kahn 算法的基本思想：
- 不断找寻有向图中入度为
$0$ 的顶点，将其输出。- 然后删除入度为
$0$ 的顶点和从该顶点出发的有向边。- 重复上述操作直到图为空，或者找不到入度为
$0$ 的节点为止。
- 使用数组
$indegrees$ 用于记录图中各个顶点的入度。 - 维护一个入度为
$0$ 的顶点集合$S$ （可使用栈、队列、优先队列）。 - 每次从集合中选择任何一个没有前驱（即入度为
$0$ ）的顶点$u$ ，将其输出到拓扑序列$order$ 中。 - 从图中删除该顶点
$u$ ，并且删除从该顶点出发的有向边$<u, v>$ （也就是把该顶点可达的顶点入度都减$1$ ）。如果删除该边后顶点$v$ 的入度变为$0$ ，则将顶点$v$ 放入集合$S$ 中。 - 重复上述过程，直到集合
$S$ 为空，或者图中还有顶点未被访问（说明一定存在环路，无法形成拓扑序列）。 - 如果不存在环路，则
$order$ 中顶点的顺序就是拓扑排序的结果。
import collections
class Solution:
# 拓扑排序，graph 中包含所有顶点的有向边关系（包括无边顶点）
def topologicalSortingKahn(self, graph: dict):
indegrees = {u: 0 for u in graph} # indegrees 用于记录所有顶点入度
for u in graph:
for v in graph[u]:
indegrees[v] += 1 # 统计所有顶点入度
# 将入度为 0 的顶点存入集合 S 中
S = collections.deque([u for u in indegrees if indegrees[u] == 0])
order = [] # order 用于存储拓扑序列
while S:
u = S.pop() # 从集合中选择一个没有前驱的顶点 0
order.append(u) # 将其输出到拓扑序列 order 中
for v in graph[u]: # 遍历顶点 u 的邻接顶点 v
indegrees[v] -= 1 # 删除从顶点 u 出发的有向边
if indegrees[v] == 0: # 如果删除该边后顶点 v 的入度变为 0
S.append(v) # 将其放入集合 S 中
if len(indegrees) != len(order): # 还有顶点未遍历（存在环），无法构成拓扑序列
return []
return order # 返回拓扑序列
def findOrder(self, n: int, edges):
# 构建图
graph = dict()
for i in range(n):
graph[i] = []
for u, v in edges:
graph[u].append(v)
return self.topologicalSortingKahn(graph)基于 DFS 实现拓扑排序算法的基本思想：
- 对于一个顶点
$u$ ，深度优先遍历从该顶点出发的有向边$<u, v>$ 。如果从该顶点$u$ 出发的所有相邻顶点$v$ 都已经搜索完毕，则回溯到顶点$u$ 时，该顶点$u$ 应该位于其所有相邻顶点$v$ 的前面（拓扑序列中）。- 这样一来，当我们对每个顶点进行深度优先搜索，在回溯到该顶点时将其放入栈中，则最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。
-
使用集合
$visited$ 用于记录当前顶点是否被访问过，避免重复访问。 -
使用集合
$onStack$ 用于记录同一次深度优先搜索时，当前顶点是否被访问过。如果当前顶点被访问过，则说明图中存在环路，无法构成拓扑序列。 -
使用布尔变量
$hasCycle$ 用于判断图中是否存在环。 -
从任意一个未被访问的顶点
$u$ 出发。- 如果顶点
$u$ 在同一次深度优先搜索时被访问过，则说明存在环。 - 如果当前顶点被访问或者有环时，则无需再继续遍历，直接返回。
- 如果顶点
-
将顶点
$u$ 标记为被访问过，并在本次深度优先搜索中标记为访问过。然后深度优先遍历从顶点$u$ 出发的有向边$<u, v>$ 。 -
当顶点
$u$ 的所有相邻顶点$v$ 都被访问后，回溯前记录当前节点$u$ （将当前节点$u$ 输出到拓扑序列$order$ 中）。 -
取消本次深度优先搜索时，顶点
$u$ 的访问标记。 -
对其他未被访问的顶点重复
$4 \sim 7$ 步过程，直到所有节点都遍历完，或者出现环。 -
如果不存在环路，则将
$order$ 逆序排序后，顶点的顺序就是拓扑排序的结果。
import collections
class Solution:
# 拓扑排序，graph 中包含所有顶点的有向边关系（包括无边顶点）
def topologicalSortingDFS(self, graph: dict):
visited = set() # 记录当前顶点是否被访问过
onStack = set() # 记录同一次深搜时，当前顶点是否被访问过
order = [] # 用于存储拓扑序列
hasCycle = False # 用于判断是否存在环
def dfs(u):
nonlocal hasCycle
if u in onStack: # 同一次深度优先搜索时，当前顶点被访问过，说明存在环
hasCycle = True
if u in visited or hasCycle: # 当前节点被访问或者有环时直接返回
return
visited.add(u) # 标记节点被访问
onStack.add(u) # 标记本次深搜时，当前顶点被访问
for v in graph[u]: # 遍历顶点 u 的邻接顶点 v
dfs(v) # 递归访问节点 v
order.append(u) # 后序遍历顺序访问节点 u
onStack.remove(u) # 取消本次深搜时的 顶点访问标记
for u in graph:
if u not in visited:
dfs(u) # 递归遍历未访问节点 u
if hasCycle: # 判断是否存在环
return [] # 存在环，无法构成拓扑序列
order.reverse() # 将后序遍历转为拓扑排序顺序
return order # 返回拓扑序列
def findOrder(self, n: int, edges):
# 构建图
graph = dict()
for i in range(n):
graph[i] = []
for v, u in edges:
graph[u].append(v)
return self.topologicalSortingDFS(graph)拓扑排序可以用来解决一些依赖关系的问题，比如项目的执行顺序，课程的选修顺序等。
描述：给定一个整数
要求：返回学完所有课程所安排的学习顺序。如果有多个正确的顺序，只要返回其中一种即可。如果无法完成所有课程，则返回空数组。
说明：
-
$1 \le numCourses \le 2000$ 。 -
$0 \le prerequisites.length \le numCourses \times (numCourses - 1)$ 。 -
$prerequisites[i].length == 2$ 。 -
$0 \le ai, bi < numCourses$ 。 -
$ai \ne bi$ 。 - 所有$[ai, bi]$ 互不相同。
示例：
- 示例 1：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：[0,1]
解释：总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1]。- 示例 2：
输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出：[0,2,1,3]
解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3]。这道题是「0207. 课程表」的升级版，只需要在上一题的基础上增加一个答案数组
- 使用哈希表
$graph$ 存放课程关系图，并统计每门课程节点的入度，存入入度列表$indegrees$ 。 - 借助队列
$S$ ，将所有入度为$0$ 的节点入队。 - 从队列中选择一个节点
$u$ ，并将其加入到答案数组$order$ 中。 - 从图中删除该顶点
$u$ ，并且删除从该顶点出发的有向边$<u, v>$ （也就是把该顶点可达的顶点入度都减$1$ ）。如果删除该边后顶点$v$ 的入度变为$0$ ，则将其加入队列$S$ 中。 - 重复上述步骤
$3 \sim 4$ ，直到队列中没有节点。 - 最后判断总的顶点数和拓扑序列中的顶点数是否相等，如果相等，则返回答案数组
$order$ ，否则，返回空数组。
import collections
class Solution:
# 拓扑排序，graph 中包含所有顶点的有向边关系（包括无边顶点）
def topologicalSortingKahn(self, graph: dict):
indegrees = {u: 0 for u in graph} # indegrees 用于记录所有顶点入度
for u in graph:
for v in graph[u]:
indegrees[v] += 1 # 统计所有顶点入度
# 将入度为 0 的顶点存入集合 S 中
S = collections.deque([u for u in indegrees if indegrees[u] == 0])
order = [] # order 用于存储拓扑序列
while S:
u = S.pop() # 从集合中选择一个没有前驱的顶点 0
order.append(u) # 将其输出到拓扑序列 order 中
for v in graph[u]: # 遍历顶点 u 的邻接顶点 v
indegrees[v] -= 1 # 删除从顶点 u 出发的有向边
if indegrees[v] == 0: # 如果删除该边后顶点 v 的入度变为 0
S.append(v) # 将其放入集合 S 中
if len(indegrees) != len(order): # 还有顶点未遍历（存在环），无法构成拓扑序列
return []
return order # 返回拓扑序列
def findOrder(self, numCourses: int, prerequisites):
graph = dict()
for i in range(numCourses):
graph[i] = []
for v, u in prerequisites:
graph[u].append(v)
return self.topologicalSortingKahn(graph)-
时间复杂度：$O(n + m)$，其中
$n$ 为课程数，$m$ 为先修课程的要求数。 - 空间复杂度：$O(n + m)$。
描述：给定一个有向图
要求：找出图中所有的安全节点，将其存入数组作为答案返回，答案数组中的元素应当按升序排列。
说明：
- 终端节点：如果一个节点没有连出的有向边，则它是终端节点。或者说，如果没有出边，则节点为终端节点。
- 安全节点：如果从该节点开始的所有可能路径都通向终端节点，则该节点为安全节点。
-
$n == graph.length$ 。 -
$1 \le n \le 10^4$ 。 -
$0 \le graph[i].length \le n$ 。 -
$0 \le graph[i][j] \le n - 1$ 。 -
$graph[i]$ 按严格递增顺序排列。 - 图中可能包含自环。
- 图中边的数目在范围
$[1, 4 \times 10^4]$ 内。
示例：
- 示例 1：
输入：graph = [[1,2],[2,3],[5],[0],[5],[],[]]
输出：[2,4,5,6]
解释：示意图如上。
节点 5 和节点 6 是终端节点，因为它们都没有出边。
从节点 2、4、5 和 6 开始的所有路径都指向节点 5 或 6。- 示例 2：
输入：graph = [[1,2,3,4],[1,2],[3,4],[0,4],[]]
输出：[4]
解释:
只有节点 4 是终端节点，从节点 4 开始的所有路径都通向节点 4。- 根据题意可知，安全节点所对应的终点，一定是出度为
$0$ 的节点。而安全节点一定能在有限步内到达终点，则说明安全节点一定不在「环」内。 - 我们可以利用拓扑排序来判断顶点是否在环中。
- 为了找出安全节点，可以采取逆序建图的方式，将所有边进行反向。这样出度为
$0$ 的终点就变为了入度为$0$ 的点。 - 然后通过拓扑排序不断移除入度为
$0$ 的点之后，如果不在「环」中的点，最后入度一定为$0$ ，这些点也就是安全节点。而在「环」中的点，最后入度一定不为$0$ 。 - 最后将所有安全的起始节点存入数组作为答案返回。
class Solution:
# 拓扑排序，graph 中包含所有顶点的有向边关系（包括无边顶点）
def topologicalSortingKahn(self, graph: dict):
indegrees = {u: 0 for u in graph} # indegrees 用于记录所有节点入度
for u in graph:
for v in graph[u]:
indegrees[v] += 1 # 统计所有节点入度
# 将入度为 0 的顶点存入集合 S 中
S = collections.deque([u for u in indegrees if indegrees[u] == 0])
while S:
u = S.pop() # 从集合中选择一个没有前驱的顶点 0
for v in graph[u]: # 遍历顶点 u 的邻接顶点 v
indegrees[v] -= 1 # 删除从顶点 u 出发的有向边
if indegrees[v] == 0: # 如果删除该边后顶点 v 的入度变为 0
S.append(v) # 将其放入集合 S 中
res = []
for u in indegrees:
if indegrees[u] == 0:
res.append(u)
return res
def eventualSafeNodes(self, graph: List[List[int]]) -> List[int]:
graph_dict = {u: [] for u in range(len(graph))}
for u in range(len(graph)):
for v in graph[u]:
graph_dict[v].append(u) # 逆序建图
return self.topologicalSortingKahn(graph_dict)-
时间复杂度：$O(n + m)$，其中
$n$ 是图中节点数目，$m$ 是图中边数目。 - 空间复杂度：$O(n + m)$。