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困难
数组
动态规划

1714. 数组中特殊等间距元素的和 🔒

English Version

题目描述

给定一个索引从 0 开始的整数类型数组 nums ，包含 n 个非负整数。

另外给定一个（包含查询指令的）数组 queries ，其中 queries[i] = [xi, yi]。 第 i 个查询指令的答案是 nums[j] 中满足该条件的所有元素的和： xi <= j < n 且 (j - xi) 能被 yi 整除。

返回一个数组 answer，其中  answer.length == queries.length 且 answer[i] 是第 i 个查询指令的答案对 109 + 7 取模。

 

示例 1:

输入: nums = [0,1,2,3,4,5,6,7], queries = [[0,3],[5,1],[4,2]]
输出: [9,18,10]
解释: 每次查询的答案如下：
1) 符合查询条件的索引 j 有 0、 3 和 6。 nums[0] + nums[3] + nums[6] = 9
2) 符合查询条件的索引 j 有 5、 6 和 7。 nums[5] + nums[6] + nums[7] = 18
3) 符合查询条件的索引 j 有 4 和 6。 nums[4] + nums[6] = 10

示例 2:

输入: nums = [100,200,101,201,102,202,103,203], queries = [[0,7]]
输出: [303]

 

提示：

  • n == nums.length
  • 1 <= n <= 5 * 104
  • 0 <= nums[i] <= 109
  • 1 <= queries.length <= 1.5 * 105
  • 0 <= xi < n
  • 1 <= yi <= 5 * 104

解法

方法一：分块

这道题是一道比较典型的分块题目，对于步长较大的查询，我们可以直接暴力求解；对于步长较小的查询，我们可以预处理出每个位置的后缀和，然后直接查询。

本题中，我们将步长较大的查询的步长限制为 $\sqrt{n}$，这样就可以保证每个查询的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$。

我们定义一个二维数组 $suf$，其中 $suf[i][j]$ be 表示从位置 $j$ 开始，步长为 $i$ 的后缀和。那么对于每个查询 $[x, y]$，我们可以分为两种情况：

  • 如果 $y \le \sqrt{n}$，那么我们可以直接查询 $suf[y][x]$；
  • 如果 $y \gt \sqrt{n}$，那么我们可以直接暴力求解。

时间复杂度 $O((n + m) \times \sqrt{n})$，空间复杂度 $O(n \times \sqrt{n})$。其中 $n$ 是数组的长度，而 $m$ 是查询的个数。

Python3

class Solution:
    def solve(self, nums: List[int], queries: List[List[int]]) -> List[int]:
        mod = 10**9 + 7
        n = len(nums)
        m = int(sqrt(n))
        suf = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(n - 1, -1, -1):
                suf[i][j] = suf[i][min(n, j + i)] + nums[j]
        ans = []
        for x, y in queries:
            if y <= m:
                ans.append(suf[y][x] % mod)
            else:
                ans.append(sum(nums[x::y]) % mod)
        return ans

Java

class Solution {
    public int[] solve(int[] nums, int[][] queries) {
        int n = nums.length;
        int m = (int) Math.sqrt(n);
        final int mod = (int) 1e9 + 7;
        int[][] suf = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = n - 1; j >= 0; --j) {
                suf[i][j] = (suf[i][Math.min(n, j + i)] + nums[j]) % mod;
            }
        }
        int k = queries.length;
        int[] ans = new int[k];
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            int x = queries[i][0];
            int y = queries[i][1];
            if (y <= m) {
                ans[i] = suf[y][x];
            } else {
                int s = 0;
                for (int j = x; j < n; j += y) {
                    s = (s + nums[j]) % mod;
                }
                ans[i] = s;
            }
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    vector<int> solve(vector<int>& nums, vector<vector<int>>& queries) {
        int n = nums.size();
        int m = (int) sqrt(n);
        const int mod = 1e9 + 7;
        int suf[m + 1][n + 1];
        memset(suf, 0, sizeof(suf));
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = n - 1; ~j; --j) {
                suf[i][j] = (suf[i][min(n, j + i)] + nums[j]) % mod;
            }
        }
        vector<int> ans;
        for (auto& q : queries) {
            int x = q[0], y = q[1];
            if (y <= m) {
                ans.push_back(suf[y][x]);
            } else {
                int s = 0;
                for (int i = x; i < n; i += y) {
                    s = (s + nums[i]) % mod;
                }
                ans.push_back(s);
            }
        }
        return ans;
    }
};

Go

func solve(nums []int, queries [][]int) (ans []int) {
	n := len(nums)
	m := int(math.Sqrt(float64(n)))
	const mod int = 1e9 + 7
	suf := make([][]int, m+1)
	for i := range suf {
		suf[i] = make([]int, n+1)
		for j := n - 1; j >= 0; j-- {
			suf[i][j] = (suf[i][min(n, j+i)] + nums[j]) % mod
		}
	}
	for _, q := range queries {
		x, y := q[0], q[1]
		if y <= m {
			ans = append(ans, suf[y][x])
		} else {
			s := 0
			for i := x; i < n; i += y {
				s = (s + nums[i]) % mod
			}
			ans = append(ans, s)
		}
	}
	return
}

TypeScript

function solve(nums: number[], queries: number[][]): number[] {
    const n = nums.length;
    const m = Math.floor(Math.sqrt(n));
    const mod = 10 ** 9 + 7;
    const suf: number[][] = Array(m + 1)
        .fill(0)
        .map(() => Array(n + 1).fill(0));
    for (let i = 1; i <= m; ++i) {
        for (let j = n - 1; j >= 0; --j) {
            suf[i][j] = (suf[i][Math.min(n, j + i)] + nums[j]) % mod;
        }
    }
    const ans: number[] = [];
    for (const [x, y] of queries) {
        if (y <= m) {
            ans.push(suf[y][x]);
        } else {
            let s = 0;
            for (let i = x; i < n; i += y) {
                s = (s + nums[i]) % mod;
            }
            ans.push(s);
        }
    }
    return ans;
}