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中等
1951
第 219 场周赛 Q3
数组
数学
动态规划
博弈

English Version

题目描述

石子游戏中,爱丽丝和鲍勃轮流进行自己的回合,爱丽丝先开始

n 块石子排成一排。每个玩家的回合中,可以从行中 移除 最左边的石头或最右边的石头,并获得与该行中剩余石头值之 相等的得分。当没有石头可移除时,得分较高者获胜。

鲍勃发现他总是输掉游戏(可怜的鲍勃,他总是输),所以他决定尽力 减小得分的差值 。爱丽丝的目标是最大限度地 扩大得分的差值

给你一个整数数组 stones ,其中 stones[i] 表示 从左边开始 的第 i 个石头的值,如果爱丽丝和鲍勃都 发挥出最佳水平 ,请返回他们 得分的差值

 

示例 1:

输入:stones = [5,3,1,4,2]
输出:6
解释:
- 爱丽丝移除 2 ,得分 5 + 3 + 1 + 4 = 13 。游戏情况:爱丽丝 = 13 ,鲍勃 = 0 ,石子 = [5,3,1,4] 。
- 鲍勃移除 5 ,得分 3 + 1 + 4 = 8 。游戏情况:爱丽丝 = 13 ,鲍勃 = 8 ,石子 = [3,1,4] 。
- 爱丽丝移除 3 ,得分 1 + 4 = 5 。游戏情况:爱丽丝 = 18 ,鲍勃 = 8 ,石子 = [1,4] 。
- 鲍勃移除 1 ,得分 4 。游戏情况:爱丽丝 = 18 ,鲍勃 = 12 ,石子 = [4] 。
- 爱丽丝移除 4 ,得分 0 。游戏情况:爱丽丝 = 18 ,鲍勃 = 12 ,石子 = [] 。
得分的差值 18 - 12 = 6 。

示例 2:

输入:stones = [7,90,5,1,100,10,10,2]
输出:122

 

提示:

  • n == stones.length
  • 2 <= n <= 1000
  • 1 <= stones[i] <= 1000

解法

方法一:记忆化搜索

我们先预处理出前缀和数组 $s$,其中 $s[i]$ 表示前 $i$ 个石头的总和。

接下来,设计一个函数 $dfs(i, j)$,表示当剩下的石子为 $stones[i], stones[i + 1], \dots, stones[j]$ 时,先手与后手的得分差值。那么答案即为 $dfs(0, n - 1)$

函数 $dfs(i, j)$ 的计算过程如下:

  • 如果 $i \gt j$,说明当前没有石子,返回 $0$
  • 否则,先手有两种选择,分别是移除 $stones[i]$$stones[j]$,然后计算得分差值,即 $a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j)$$b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1)$,我们取两者中的较大值作为 $dfs(i, j)$ 的返回值。

过程中,我们使用记忆化搜索,即使用数组 $f$ 记录函数 $dfs(i, j)$ 的返回值,避免重复计算。

时间复杂度 $O(n^2)$,空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为石子的数量。

Python3

class Solution:
    def stoneGameVII(self, stones: List[int]) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int, j: int) -> int:
            if i > j:
                return 0
            a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j)
            b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1)
            return max(a, b)

        s = list(accumulate(stones, initial=0))
        ans = dfs(0, len(stones) - 1)
        dfs.cache_clear()
        return ans

Java

class Solution {
    private int[] s;
    private Integer[][] f;

    public int stoneGameVII(int[] stones) {
        int n = stones.length;
        s = new int[n + 1];
        f = new Integer[n][n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + stones[i];
        }
        return dfs(0, n - 1);
    }

    private int dfs(int i, int j) {
        if (i > j) {
            return 0;
        }
        if (f[i][j] != null) {
            return f[i][j];
        }
        int a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
        int b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
        return f[i][j] = Math.max(a, b);
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int stoneGameVII(vector<int>& stones) {
        int n = stones.size();
        int f[n][n];
        memset(f, 0, sizeof f);
        int s[n + 1];
        s[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + stones[i];
        }
        function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) {
            if (i > j) {
                return 0;
            }
            if (f[i][j]) {
                return f[i][j];
            }
            int a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
            int b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
            return f[i][j] = max(a, b);
        };
        return dfs(0, n - 1);
    }
};

Go

func stoneGameVII(stones []int) int {
	n := len(stones)
	s := make([]int, n+1)
	f := make([][]int, n)
	for i, x := range stones {
		s[i+1] = s[i] + x
		f[i] = make([]int, n)
	}
	var dfs func(int, int) int
	dfs = func(i, j int) int {
		if i > j {
			return 0
		}
		if f[i][j] != 0 {
			return f[i][j]
		}
		a := s[j+1] - s[i+1] - dfs(i+1, j)
		b := s[j] - s[i] - dfs(i, j-1)
		f[i][j] = max(a, b)
		return f[i][j]
	}
	return dfs(0, n-1)
}

TypeScript

function stoneGameVII(stones: number[]): number {
    const n = stones.length;
    const s: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        s[i + 1] = s[i] + stones[i];
    }
    const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(0));
    const dfs = (i: number, j: number): number => {
        if (i > j) {
            return 0;
        }
        if (f[i][j]) {
            return f[i][j];
        }
        const a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
        const b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
        return (f[i][j] = Math.max(a, b));
    };
    return dfs(0, n - 1);
}

方法二:动态规划

我们可以将方法一中的记忆化搜索转换为动态规划,定义 $f[i][j]$ 表示当剩下的石子为 $stones[i], stones[i + 1], \dots, stones[j]$ 时,先手与后手的得分差值。那么答案即为 $f[0][n - 1]$

状态转移方程如下:

$$ f[i][j] = \max(s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j], s[j] - s[i] - f[i][j - 1]) $$

在计算 $f[i][j]$ 时,我们需要保证 $f[i + 1][j]$$f[i][j - 1]$ 已经被计算出来,因此我们需要按照从大到小的顺序枚举 $i$,从小到大的顺序枚举 $j$

最后,答案即为 $f[0][n - 1]$

时间复杂度 $O(n^2)$,空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为石子的数量。

Python3

class Solution:
    def stoneGameVII(self, stones: List[int]) -> int:
        s = list(accumulate(stones, initial=0))
        n = len(stones)
        f = [[0] * n for _ in range(n)]
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            for j in range(i + 1, n):
                a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j]
                b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1]
                f[i][j] = max(a, b)
        return f[0][-1]

Java

class Solution {
    public int stoneGameVII(int[] stones) {
        int n = stones.length;
        int[] s = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + stones[i];
        }
        int[][] f = new int[n][n];
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                int a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j];
                int b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1];
                f[i][j] = Math.max(a, b);
            }
        }
        return f[0][n - 1];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int stoneGameVII(vector<int>& stones) {
        int n = stones.size();
        int s[n + 1];
        memset(s, 0, sizeof(s));
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + stones[i];
        }
        int f[n][n];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                int a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j];
                int b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1];
                f[i][j] = max(a, b);
            }
        }
        return f[0][n - 1];
    }
};

Go

func stoneGameVII(stones []int) int {
	n := len(stones)
	s := make([]int, n+1)
	for i, x := range stones {
		s[i+1] = s[i] + x
	}
	f := make([][]int, n)
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, n)
	}
	for i := n - 2; i >= 0; i-- {
		for j := i + 1; j < n; j++ {
			f[i][j] = max(s[j+1]-s[i+1]-f[i+1][j], s[j]-s[i]-f[i][j-1])
		}
	}
	return f[0][n-1]
}

TypeScript

function stoneGameVII(stones: number[]): number {
    const n = stones.length;
    const s: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        s[i + 1] = s[i] + stones[i];
    }
    const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(0));
    for (let i = n - 2; ~i; --i) {
        for (let j = i + 1; j < n; ++j) {
            f[i][j] = Math.max(s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j], s[j] - s[i] - f[i][j - 1]);
        }
    }
    return f[0][n - 1];
}