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309.best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown.md

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题目地址(309. 最佳买卖股票时机含冷冻期)

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/

题目描述

给定一个整数数组,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):

你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

前置知识

公司

  • 阿里
  • 腾讯
  • 字节

记忆化递归

思路

用 f(i, state) 表示第 i 天(从 0 开始),当前状态是 state 的最大利润。

  • state 为 0 表示手上没有股票
  • state 为 1 表示手上有股票
  • state 为 -1 表示手上没有股票,但是在冷冻期,所以不能买。

那么转移方程就容易了。

  • 如果 state 为 0,那么当前可以什么都不做,也可以买入,也就是说不能卖出了。因此最大利润就是两种的最大值。
max(f(i+1, 0), f(i+1, 1) - prices[i])
  • 如果 state 为 1,那么当前可以什么都不做,也可以卖出,也就是说不能买入了。因此最大利润就是两种的最大值。
max(f(i+1, 1), f(i+1, -1) + prices[i])
  • 如果 state 为 -1,那么当前只能什么都不做,因此最大利润维持不变,但是状态变为 0。(因为冷冻期只有一天,思考下如果冷冻期是 k 天如何修改我们的逻辑?)
f(i+1, 0)

临界条件就是 i == n - 1,此时如果 state == 1, 我们可以将其卖掉,否则无法卖出。

代码

代码支持:Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def maxProfit(self, prices):
        if not prices:
            return 0
        n = len(prices)

        @lru_cache(None)
        def f(i, state):
            if i == n - 1:
                return prices[i] if state == 1 else 0

            if state == -1:
                return f(i + 1, 0)
            if state == 0:
                return max(f(i + 1, 0), -prices[i] + f(i + 1, 1))
            if state == 1:
                return max(prices[i] + f(i + 1, -1), f(i + 1, 1))

        return f(0, 0)

复杂度分析

令 n 为数组长度。

  • 时间复杂度: 状态总数为 3 * n ,单个状态所需时间为 $O(1)$,因此时间复杂度为 $O(n)$
  • 空间复杂度:状态总数为 3 * n ,因此空间复杂度为 $O(n)$

动态规划

思路

这是一道典型的 DP 问题, DP 问题的核心是找到状态和状态转移方程。

这道题目的状态似乎比我们常见的那种 DP 问题要多,这里的状态有 buy sell cooldown 三种,我们可以用三个数组来表示这这三个状态,buy,sell, cooldown。其中:

  • buy[i]表示第 i 天,且手里有股票(不在冷冻期)的最大利润
  • sell[i]表示第 i 天,且手里没有股票的最大利润
  • cooldown[i]表示第 i 天,且手里有股票(但是在冷冻期不能卖)的最大利润

我们思考一下,其实 cooldown 这个状态数组似乎没有什么用,因为 cooldown 不会对profit产生任何影响。 我们可以进一步缩小为两种状态。

  • buy[i] 表示第 i 天,且手里有股票的最大利润
  • sell[i] 表示第 i 天,且手里没股票的最大利润

对应的状态转移方程如下:

这个需要花点时间来理解

buy[i] = Math.max(buy[i - 1], sell[i - 2] - prices[i]);
sell[i] = Math.max(sell[i - 1], buy[i - 1] + prices[i]);

我们来分析一下,buy[i]对应第 i 的 action 只能是 buy 或者 cooldown。(如果是 sell 的话手里就没有股票了)

  • 如果是 cooldown,那么 profit 就是 buy[i - 1]
  • 如果是 buy,那么就是前一个卖的profit减去今天买股票花的钱,即 sell[i -2] - prices[i]

注意这里是 i - 2,不是 i-1 ,因为有 cooldown 一天的限制

sell[i]对应第 i 的 action 只能是 sell 或者 cooldown。

  • 如果是 cooldown,实际上就是 sell[i - 1]。
  • 如果是 sell,那么利润就是前一次买的时候获取的利润加上这次卖的钱,即 buy[i - 1] + prices[i]

关键点解析

  • 多状态动态规划

代码

代码支持:JS

JS Code:

/*
 * @lc app=leetcode id=309 lang=javascript
 *
 * [309] Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown
 *
 */
/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function (prices) {
  if (prices == null || prices.length <= 1) return 0;

  // 定义状态变量
  const buy = [];
  const sell = [];
  // 寻常
  buy[0] = -prices[0];
  buy[1] = Math.max(-prices[0], -prices[1]);
  sell[0] = 0;
  sell[1] = Math.max(0, prices[1] - prices[0]);
  for (let i = 2; i < prices.length; i++) {
    // 状态转移方程
    // 第i天只能是买或者cooldown
    // 如果买利润就是sell[i - 2] - prices[i], 注意这里是i - 2,不是 i-1 ,因为有cooldown的限制
    // cooldown就是buy[i -1]
    buy[i] = Math.max(buy[i - 1], sell[i - 2] - prices[i]);
    // 第i天只能是卖或者cooldown
    // 如果卖利润就是buy[i  -1] + prices[i]
    // cooldown就是sell[i -1]
    sell[i] = Math.max(sell[i - 1], buy[i - 1] + prices[i]);
  }

  return Math.max(buy[prices.length - 1], sell[prices.length - 1], 0);
};

复杂度分析

令 n 为数组长度。

  • 时间复杂度:$O(n)$(同上)
  • 空间复杂度:$O(n)$(同上)

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